Μαθηματικά!

Αν όμως πχ έχουμε την δευτεροβάθμια συνάρτηση f(x)=x^2, τότε η παράγωγος μας, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής δεν θα είναι σταθερός αριθμός αλλά ακόμα μια συνάρτηση, η f'(x)(που στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι f'(x)=2x).

Και ο σταθερός αριθμός είναι συνάρτηση, η f(x)=c που παριστάνεται γραφικά από μία ευθεία παράλληλη στον x'x.

Υπάρχει πολύ πιο αξιωματικός ορισμός της παραγώγου, που βασικά είναι πιο κοντά σε αυτό:

(στην ουσία, παράγωγος είναι η διαφορά δυο y δια την διαφορά των αντίστοιχων x, όταν αυτή τείνει το μηδέν)

Για να το καταλάβεις πιο διαισθητικά Μαριλένα, όταν ένα κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα, και σε χρόνο Δt διανύει διάστημα Δs, λέμε ότι η ταχύτητά του είναι v=Δs/Δt. Όταν η ταχύτητα μεταβάλλεται, ο παραπάνω λόγος δίνει την μέση ταχύτητα του κινητού. Προκειμένου να υπολογιστεί η στιγμιαία ταχύτητα, δηλαδή η ταχύτητα σε ένα χρονικό διάστημα που πλησιάζει απεριόριστα το 0, χρησιμοποιείται η παράγωγος.
Είναι δηλαδή v_στ=dx/dt. Με dt συμβολίζουμε το Δt όταν αυτό τείνει στο 0. Όταν μάθεις τα όρια αυτό θα σου φαίνεται πιο εύκολο.


Το πως έχουν προκύψει οι τύποι των παραγώγων, είναι μία δουλειά που αφορά αυτά τα όρια.
Η ίδια η διαδικασία δεν είναι δύσκολη, αντίθετα μάλιστα μαθαίνεται από όλους τους μαθητές αφού στην ουσία είναι κάτι σαν τυπολόγιο, που δίνει τις παραγώγους όλων των βασικών συναρτήσεων που γνωριζουμε απ' τις τρεις τάξεις του λυκείου

ίσως να μπερδευτείς βέβαια στην αντίθετη διαδικασία, που ονομάζεται, ολοκλήρωση.

Αντιπαραγώγιση ονομάζεται η αντίστροφη διαδικασία, υπάρχουν ενστάσεις στο κατά πόσο η αντιπαράγωγος είναι το ίδιο πράγμα με το αόριστο ολοκλήρωμα, γι' αυτό χρησιμοποιούμε καταχρηστικά τον όρο αντιπαραγώγιση για την εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος. Για το ορισμένο όμως είναι υπερβολή!

ναι, φυσικά και ο σταθερός αριθμός αποτελεί μια (ανεξάρτητη του x) συνάρτηση. Παράληψη στην δική μου διατύπωση. Αν και τώρα που το ξαναβλέπω δεν λέω κάπου πως ο στσθερός αριθμός δεν είναι συνάρτηση, ωστόσο ναι, αυτό μάλλον δεν το κάνω ξεκάθαρο.
Ω, μα φυσικά και υπάρχει πιο αξιωματικός ορισμός. Αυτό έλειψε δηλαδή. Απλά ήταν μια χονδρική πρώτη επαφή, για να εξηγήσω τι είναι.

Βασικά, μίλησα για ολοκλήρωση και παραγώγιση, και όχι ολοκλήρωμα και παράγωγο, οπότε η ολοκλήρωση ναι, είναι η αντίθετη διαδικασία της παραγώγισης, όπως άλλωστε λεει και το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού. Βέβαια, το θεώρημα μιλάει όντως για αόριστη ολοκλήρωση, αλλά συνήθως όταν μιλάμε για ολοκλήρωση αναφερόμαστε στην αόριστη ολοκλήρωση. ή τουλάχιστον, σε ότι αφορά τέτοιου είδους σχέσεις ή και πιο συγκεκριμένα στο συγκεκριμένο θεώρημα. Βέβαια, σε πιο "νέα έκδοση" προκύπτει και το θέμα με την ταύτιση του αόριστου ολοκληρώματος και της αντιπαραγώγου, και οι διάφορες προτεινόμενες τροποποιήσεις στην διατύπωση του πιο πάνω θεωρήματος. Για μένα όμως, αντιπαράγωγος=αόριστο ολοκλήρωμα. Και γενικότερα, θεωρώ την διατύπωση του θεωρήματος σωστή όταν αναφέρεται σε ολοκλήρωση και παραγώγιση. Όχι αυστηρά ίσως, αφού παραλείπεται η διευκρίνηση του «αορίστου», αλλά σωστή. Αν προσέξεις, αυτή η διατύπωση συνηθίζεται όταν δεν θέλουμε αυστηρούς ορισμούς. Αλλά ναι, σίγουρα αν αναφερόμουν σε αόριστη ολοκλήρωση ή ακόμα και αντιπαραγώγιση θα ήταν ορθότερα.

και να προσθέσω σε αυτό που είπες πως η διαδικασία εύρεσης των γενικών τύπων των παραγώγων με όρια δεν είναι μόνο εύκολη, αλλά και πανέμορφη.

Όχι έχει διαφορά Για λόγους ευχρηστίας ταυτίζουμε τους όρους, αλλά δεν είναι έτσι. Το αόριστο ολοκλήρωμα παριστάνει μία οικογένεια άπειρων συναρτήσεων, Παραγουσών της f, που μεταξύ τους δεν έχουν κάτι κοινό, πέρα από την ίδια παράγωγο.

Αντιπαράγωγος είναι το προϊόν της αντιπαραγώγισης, της εύρεσης δηλαδή μίας Αρχικής της f. Αυτό το "μίας" παίζει τεράστιο ρόλο, παρ' όλο που παραλείπεται να αναφερθεί στα σχολικά βιβλία. Η μία συνάρτηση έχει καθορισμένη την c σταθερά της, και όταν εφαρμόζεται (κυρίως σε θεωρήματα Rolle) αυτή η σταθερά θα παίξει τον ρόλο της. Το αόριστο ολοκλήρωμα δεν το έχουμε γνωρίσει καν όταν κάνουμε αντιπαραγώγιση για Rolle, μιλάω με βάση τα δεδομένα της τρίτης λυκείου

Βασικά, μίλησα για ολοκλήρωση και παραγώγιση, και όχι ολοκλήρωμα και παράγωγο, οπότε η ολοκλήρωση ναι, είναι η αντίθετη διαδικασία της παραγώγισης, όπως άλλωστε λεει και το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού.

Μου την είπες τώρα Δεν κάνω πλάκα, σοβαρά μου την είπες, μόλις τώρα πρόσεξα καλύτερα την διατύπωσή σου στο πρώτο ποστ

Αλλά θα επιμείνω! Είναι λάθος να πιστεύεις πως όταν μιλάμε για ολοκλήρωμα αναφερόμαστε στο αόριστο, έστω τις περισσότερες φορές! Όταν λέμε "ολοκλήρωμα" σκέτο, δεν λέμε τίποτα, πρέπει να μιλάμε για αόριστο ή ορισμένο, για να μπορούμε να συνεννοούμαστε

Επίσης θέλω απάντηση σε αυτήν την απορία:

Ήθελα να 'ξερα πώς ένα 14χρονο παιδί ξέρει τι είναι παράγωγοι... :S

Και όχι το "όποιος ψάχνει βρίσκει"

Αλλά θα επιμείνω! Είναι λάθος να πιστεύεις πως όταν μιλάμε για ολοκλήρωμα αναφερόμαστε στο αόριστο, έστω τις περισσότερες φορές! Όταν λέμε "ολοκλήρωμα" σκέτο, δεν λέμε τίποτα, πρέπει να μιλάμε για αόριστο ή ορισμένο, για να μπορούμε να συνεννοούμαστε

βασικά, αυτό που είπα είναι πως όταν λεμε ολοκλήρωση σκέτο, τις περισσότερες φορές εννοούμε την αόριστη. όχι ολοκλήρωμα... ολοκλήρωση. αλλά μάλλον δεν αλλάζει κάτι αυτό.

Επίσης θέλω απάντηση σε αυτήν την απορία:

Ήθελα να 'ξερα πώς ένα 14χρονο παιδί ξέρει τι είναι παράγωγοι... :S

Και όχι το "όποιος ψάχνει βρίσκει"

αφού αυτή είναι η σωστή απάντηση... ψέματα θες να σου πω?

Και πάλι, καταλαβαίνεις αυτά που διαβάζεις;
Διαβάζεις μόνο θεωρήματα ή λύνεις και ασκήσεις;

Μπήκαμε στους μιγαδικούς στο φροντιστήριο και όταν ο καθηγητής είπε πως i² = -1, μία συμμαθήτριά μου είχε μείνει έτσι: και μετά άρχισε να παραπονιέται για την εξυπνάδα των μαθηματικών.

και δεν έχει δει τίποτα ακόμα να της πεις.

Είχε φάση όταν κάναμε κάποιες πολύ απλές ασκήσεις και κοιτούσε με ένα τέτοιο ύφος:

ναι, το χω ξαναδεί και εγώ αυτό το φαινόμενο σε μαθητές.
στις πολλές φορές όμως καταντάει σπαστικό.

Τώρα έχει συμπαθήσει τους μιγαδικούς. Έγραψε χάλια στο τεστ αλλά κάναμε πολύ απλές ασκήσεις βρίσκοντας τις ρίζες εξισώσεων και κάποιες άλλες με τιτανοτεράστιους εκθέτες και τους συμπάθησε.

λοιπόοοον... πάρτε μερικά μαθηματικά ανεκδοτάκια( )

μια μέρα, καθώς ο Χριστός έκανε τον περίπατο του με τον Πέτρο, γυρίζει και του λεει:
Χριστός - Πέτρο?
Πέτρος - ναι Δάσκαλε.
Χριστός - άκουσε τι έχω να σου πω.
Πέτρος - Ακούω δάσκαλε.
Χριστός - y=x^2!!!
Πέτρος - Τι είναι αυτό δάσκαλε?
Χριστός - Παραβολή Πέτρο! Παραβολή!


άλλο

σε ένα συνέδριο θετικών-βιολογικών-τεχνολογικών επιστημων, ζητήθηκε από τους παρευρισκόμενους να αποδείξουν ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί εκτός της μονάδας είναι πρώτοι.
Πρώτα πάνε σε έναν μαθηματικό, και του ζητάνε να τους δείξει την απόδειξη τους.

ο Μαθηματικός - Το 3 είναι πρώτος, το 5 είναι πρώτος, το 7 είναι πρώτος, το 9 δεν είναι άρα δεν αληθεύει.
μετά πάνε σε έναν φυσικό

ο Φυσικός - Το 3 είναι πρώτος, το 5 είναι πρώτος, το 7 είναι πρώτος, το 9 είναι πειραματικό σφάλμα, το 11 είναι πρώτος,...
μετά

ο Μηχανικός - το 3 μάλλον είναι, το 5 επίσης, το 7 κ΄αυτό θα ναι, το ίδιο και το 9, το 11 μάλλον,...

Γιατρός - το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 επίσης, τώρα για το 9... ακόμα να βγουν τα αποτελέσματα.

Προγραμματιστής - το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι, ....

Στατιστικολόγος - ας πάρουμε μερικούς τυχαία εκλεγμένους αριθμούς... το 13 είναι, το 23 είναι, το 29 είναι, το 7 είναι,... άρα ισχύει

Πωλητής ηλεκτρονικών υπολογιστών - το 3 είναι, το 5 είναι το 7 είναι, το 9... εμ... δεν είναι, αλλά μην μου φοβάστε! θα γίνει στην επόμενη version!


ok, αυτό ήταν υπερβολικά κρύο.

άλλο

"ο αριθμός που καλέσατε, είναι φανταστικός. Παρακαλώ περιστρέψτε τον 90 μοίρες στο μιγαδικό επίπεδο και ξανακαλέστε"


και ένα... λεξικό όρων που συναντάμε συχνά σε βιβλία ή και διαλέξεις μαθηματικών

1. Ομοίως : Η πρώτη γραμμή της απόδειξης σε αυτήν την περίπτωση είναι όμοια με την πρώτη της προηγούμενης
2. Χωρίς βλάβη της γενικότητας : Ο συγγραφέας λουφάρει πλαγίως επιλέγοντας την απλούστερη περίπτωση
3. Προφανώς : Εύκολο να το φανταστείς αλλά όχι να αποδείξεις…
4. Άμεση συνέπεια είναι ότι : Μετά από 15 σελίδες πράξεις και συνδυασμό των τελευταίων 100 σελίδων προκύπτει ότι
5. Μπορούμε εύκολα να δείξουμε : Θέλουμε μισή μέρα για να δείξουμε
6. Η απόδειξη παραλείπεται : Ο συγγραφέας δεν μπορεί να το αποδείξει
7. Δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε : Είναι πολύ δύσκολο να διαπιστώσουμε…
8. Κάνοντας κάποιους απλούς υπολογισμούς : χρησιμοποιώντας τρια διαφορετικά μαθηματικά προγράμματα στον υπολογιστή για τις πράξεις
9. Ένα γνωστό αποτέλεσμα : Ένα πόρισμα θεωρήματος το οποίο ο συγραφέας δεν ξέρει από που προέρχεται
10. Διευκρίνηση : Ο συγγραφέας έχει κάνει λογικό άλμα από δω ως το φεγγάρι ελπίζοντας πάντα να μην το έχετε παρατηρήσει
(αυτό είναι κατευθείαν από μια υπέροχη ιστοσελίδα)


λίγο άκυρα όλα, αλλά όταν δεν έχεις τι να κάνεις....


και μια ασκησούλα από μένα για όσους θέλουν να βάλουν λίγο το μυαλό τους να δουλέψει:
«να αποδειχθεί ότι οι τετραγωνικές ρίζες όλων των μη-τετραγωνικών θετικών ακέραιων, είναι άρρητοι αριθμοί.»
Δεν αναφέρεται σε κάποια τάξη συγκεκριμένα.

Ελπίζω το όλο ποστ να μην θεωρείται σπαμ.

αυτά απο μένααααα...

Δεν είχα ξαναδεί αυτό με τις επεξηγήσεις των μαθηματικών φράσεων, πολύ καλό

Για το προβληματάκι μία δοκιμή:

Σπόιλερ:

Quod erat demonstrandum

Και επειδή μ' άρεσε το παιχνίδι βάζω κι εγώ ένα, εύκολο
Να αποδειχτεί ότι 0,999...=1.
Αλλά δεν ζητάμε την κανονική απόδειξη, ζητάμε απλώς μία έξυπνη σκέψη Αποδεικνύεται με 3 τρόπους, βασικά, και γνώσεις δημοτικού

Όλα τα ψυχάκια τα ψυχάκια εδω μέσα

Η Παράγωγοοοοοοος please δεν αντέχω άλλο να ακούω "Ο Παράγωγος"

Πωλητής ηλεκτρονικών υπολογιστών - το 3 είναι, το 5 είναι το 7 είναι, το 9... εμ... δεν είναι, αλλά μην μου φοβάστε! θα γίνει στην επόμενη version!
Το άκυρο

Με την παράγωγο παίζει και ένα λίγο πρόστυχο, αλλά δεν μεταφράζεται

Σπόιλερ:

Ξέρω ένα πολύ αστείο
Είναι τώρα ένας προγραμματιστής,ένας φυσικός και ένας μαθηματικός όπου τους βάζουν τον καθένα σε ένα άδειο εντελώς δωμάτιο.Το μόνο που τους δίνουν είναι μια κονσέρβα.Τους κλειδώνουν τέσπα και το επόμενο πρωί τους επισκέπτονται.
Πάνε πρώτα στο δωμάτιο του προγραμματιστή.Βλέπουν τους τοίχους γεμάτους αλγορίθμους και ότι άλλο κάνουν οι προγραμματιστές και τέσπα είχε καταφέρει να ανοίξει την κονσέρβα.
Πάνε στον φυσικό και βλέπουν μόνο τον έναν τοίχο γραμμένο όπου είχε υπολογίσει πώς έπρεπε να χτυπήσει την κονσέρβα για να ανοίξει.Τα είχε καταφέρει
Πάνε στο δωμάτιο του μαθηματικού,άφαντος ο μαθηματικός!Το μόνο που υπήρχε στο δωμάτιο ήταν η κονσέρβα.Ξαφνικά ακούγεται μια φωνή μέσα απ'την κονσέρβα:
"Πω ρε γαμώτο!Πάλι λάθος πρόσημο!"

Tom Marvolo Riddle έγραψε:

Και επειδή μ' άρεσε το παιχνίδι βάζω κι εγώ ένα, εύκολο
Να αποδειχτεί ότι 0,999...=1.
Αλλά δεν ζητάμε την κανονική απόδειξη, ζητάμε απλώς μία έξυπνη σκέψη Αποδεικνύεται με 3 τρόπους, βασικά, και γνώσεις δημοτικού

Θυμάμαι τη μέρα που το είχες αποδείξει με τον δικό σου τρόπο.

Χμ,είναι θαρρώ ο πιο εύκολος τρόπος.
Έστω χ=0,99999...(1)
10χ=9,9999..(2)
(2)-(1)=>9χ=9<=>χ=1

Εγώ το σκέφτηκα με βάση την άλγεβρα που κάνουμε τώρα στην δευτέρα λυκείου.



0,999... = 9/10 + 9/10² + 9/10³... = 9(1/10) / 1 - (1/10) = 9/10 / 9/10 = 1.

Tom Marvolo Riddle έγραψε:Δεν είχα ξαναδεί αυτό με τις επεξηγήσεις των μαθηματικών φράσεων, πολύ καλό

Για το προβληματάκι μία δοκιμή:

Σπόιλερ:

Quod erat demonstrandum

Και επειδή μ' άρεσε το παιχνίδι βάζω κι εγώ ένα, εύκολο
Να αποδειχτεί ότι 0,999...=1.
Αλλά δεν ζητάμε την κανονική απόδειξη, ζητάμε απλώς μία έξυπνη σκέψη Αποδεικνύεται με 3 τρόπους, βασικά, και γνώσεις δημοτικού

Κάτσε... γιατί ακριβώς είπαμε πως είναι άτοπο?
Αφού δεν υποθέσαμε πως ο χ δεν είναι τετράγωνο ρητού... τετραγωνικός αριθμός είναι το τετράγωνο φυσικού.

Πρώτος τρόπος
χ= 0,999999...
10χ= 9,9999…
9χ = 9
χ=1

Δεύτερος τρόπος
1=9/9=9(1/9)=9*(0,111....)=0,9999...

Τρίτος τρόπος(γεωμετρική σειρά)
0,9999... =9/10 +9/100 +..... =(9/10)/(1-1/10)=(9/10)/(9/10) =1

Βέβαια, υπάρχει ένα θέμα στην απόδειξη λόγω της έννοιας του ορίου που παραλείπεται, αλλά είπαμε πως δεν γυρεύουμε ακριβώς μια απόδειξη.

εντιτ. Με πρόλαβαν

Δεν είχα ιδέα πως τετραγωνικός ειναι το τετράγωνο μόνο του φυσικού, θα ξαναπροσπαθήσω :

Για το άλλο υποθέτω πως σωστά είναι αυτά που λέτε, τις προόδους δεν τις κοιτάω όμως γιατί είπα πως θέλει γνώσεις δημοτικού
Η απλούστερη που έχω πετύχει εγώ:
1/3=0,333333....

3*(1/3)=1.
3*(0,333...)=0,999...
Άρα, 0,999...=1

Και της Νικολέτας είναι ο 2ος που είχα υπόψιν

είναι και η
1/3+2/3=0,33333.....+0,666666....
1=0,99999....

αλλά την θεώρησα(όπως και αυτή με το 0,33333....) παρόμοιες με αυτή που έβαλα 2 εγώ και τις παράλειψα.


Εντομεταξύ, έχω βάλει μια λίγο "εναλλακτική" και απλή λύση στο πρόβλημα που είχες προτείνει στην πρώτη σελίδα. Είναι στην τέταρτη σελίδα τέλος-τέλος....
δεν βάζω και το χέρι μου στην φωτιά πως είναι σωστή.

Γαμώτο, ξεκίνησα να το κάνω και συνειδητοποίησα ότι την έχω διαβάσει την απόδειξη, δεν είναι δίκαιο να το προσπαθήσω Αλλά επειδή δεν αποκλείεται για 2η φορά να κάνω λάθος, δεύτερη δοκιμή (Δεν είναι δική μου βέβαια, αλλά ας υπάρχει)

Σπόιλερ:

Το πρόβλημα της πρώτης σελίδας ήταν για να πάρει τα πάνω του το τόπικ, τώρα δεν με απασχολεί καν, αφού στην τελική ο σκοπός επιτεύχθηκε

Έντιτ: είδα τη λύση σου, και με μια πρόχειρη ματιά μου φάνηκε σωστή, αν και δεν θα μπορούσα να την εφαρμόσω στο συγκεκριμένο πρόβλημα καθ' ότι είναι πρόβλημα ανάλυσης, και άρα πρέπει να λυθεί με τις τεχνικές αυτές

Σωστός.

έντιτ:
κάπου εκεί στο α^2=χβ^2 που λες ότι α=λχ κάτι δεν μου κολλάει... μάλλον είναι σωστό δηλαδή, αλλά εμένα απλά κάτι δεν μου κολλάει. Βασικά, αν χ διαιρέτης ενός αριθμού α^2, τότε δεν είναι απαραίτητα και του α. Αλλά απ' ότι ξέρω η απόδειξη θεωρείται σωστή.
και επίσης στην αρχή, είναι καλά διευκρυνίζαμε ότι από την εκφώνηση έχουμε χ διάφορο του α^2, και άρα β διάφορο της μονάδας.
τώρα, στην λύση που είχα υπόψη μου :
το συνεχίζουμε όπως το συνέχισες και εσύ, και καταλήγουμε στο α^2=χβ^2. μετά, έστω ρ πρώτος διαιρέτης του β, και άρα και του χβ^2, και άρα και του α^2, και άρα και του α. και το πάρακατω είναι αυτό που είπες και εσύ. ότι δηλαδή είναι άτοπο, αφού α/β ανάγωγο.



καλά, εγώ όφειλα να ενημερώσω.


βάζω και ένα ακόμα:
να εξετάσετε αν υπάρχει τέλειο τετράγωνο(τετραγωνικός αριθμός ) που να ισούται με το άθροισμα όλων των διαιρετων ενός κύβου πρώτου αριθμού και του ίδιου του κύβου. Αν ισχύει, να αναφέρεται τόσο την τιμή του τετραγωνικού, όσο και του πρώτου αριθμού.

The Voice of Eternity έγραψε:


βάζω και ένα ακόμα:
να εξετάσετε αν υπάρχει τέλειο τετράγωνο(τετραγωνικός αριθμός ) που να ισούται με το άθροισμα όλων των διαιρετων ενός κύβου πρώτου αριθμού και του ίδιου του κύβου. Αν ισχύει, να αναφέρεται τόσο την τιμή του τετραγωνικού, όσο και του πρώτου αριθμού.

Καλησπέρα
Αν καταλαβαίνω σωστά την εκφώνηση ενα προφανές ζεύγος είναι το (1,1) αλλά τι εννοείς "και του ίδιου του κύβου" γιατί είναι σα να λες δύο φορές το ίδιο πράγμα

Αλήθεια ήταν κανείς στη Μαθηματική Ολυμπιάδα στην Αθήνα απο εδώ?

εγώ λόγω του ότι είμαι από Κύπρο, είναι λίγο δύσκολο να ήμουν στην Αθήνα.

Προσθέτεις όλους τους διαιρέτες του κύβου του πρώτου αριμθού, και πάνω σε αυτό το άθροισμα ξανα προσθέτεις τον ίδιο τον κύβο(του πρώτου αριθμού). Και πρέπει να εξετάσεις αν υπάρχει πρώτος αριθμός τέτοιος ώστε το πιο πάνω άθροισμα να είναι τέλειο τετράγωνο.(ή, διαφορετικά αν υπάρχει τέλειο τετράγωνο τέτοιο ώστε να είναι ίσο με το πιο πάνω άθροισμα, το ίδιο πράγμα είναι).
Αν ναι, να πεις ποιος αριθμός είναι αυτός.

δεν μπορώ δυστυχώς να σου δώσω περισσότερες πληροφορίες για το συγκεκριμένο σημείο της άσκησης, γιατί η κατανόηση(ειδικά αυτού) είναι κατα ενα τρόπο μέρος της λύσης.


και ξανά ένα ανεκδοτάκι να σπάσει ο πάγος :

Τι λέει ο μαθηματικός με διδακτορικό και δουλειά στον μαθηματικό χωρίς διδακτορικό;

Σπόιλερ:

και όχι, το (1,1) δεν είναι λύση, επειδή το 1 δεν είναι πρώτος.