Μαθηματικά
4ο Θέμα:
Δίνεται η παραβολή y
2=2px p>0 και η χορδή της που διέρχεται από την εστία Ε και την τέμνει στα σημεία Α, Β. Η χορδή ειναι παράλληλη στον y'y.
1) Να αποδείξετε ότι ΑΒ=2EK όπου Κ το σημείο τομής της διευθετούσας με τον x'x.
2) Να αποδείξετε ότι ΚΑ κάθετο στο ΚΒ
3) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες από Α,Β τέμνονται στο Κ.
Για το πρώτο, επειδή δεν μας έδινε νουμεράκια, το λύναμε με τα γράμματα. Αποδεικνύεται από την εξίσωση της παραβολής πως για το Α(p/2, y
1) ισχύει y
12=2.p.p/2 <=> y
12=p
2 και άρα y
1 = p ή
y
1 = -p (απορρίπτεται γιατί το p>0, και βρισκόμαστε στο δεξί τμήμα του καρτεσιανού, όπου οι συν/νες ειναι όλες θετικές.
Οπότε κρατάμε το
y1 = pΤο (ΑΒ) είναι |y
Β-y
Α| ενώ το (ΕΚ) είναι απόλυτο |x
K-x
E|
Αν κάνουμε αντικαταστάσεις και εύκολες πραξούλες αποδεικνύεται ότι (ΑΒ)=2(ΕΚ)
Για το δεύτερο, κάνουμε ένα απλό εσωτερικό γινόμενο, μας βγαίνει 0 οπότε είναι κάθετα
:
Για το τρίτο, παίρνουμε ας πούμε την ε
1 εξίσωση της εφαπτομένης στο Α: y
1y=p(x+p/2), φτάνουμε στην τελική μορφή και βλέπουμε αν επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του Κ(-p/2, 0). Κάνουμε το ίδιο για το Β και τελειώσαμε!
3ο Θέμα:
Είχε δύο εξισώσεις αλλά δεν τις θυμάμαι οπότε θα πω μόνο το γενικό που ζητούσε.
α) Να αποδείξουμε ότι είναι κύκλοι, οπότε τεστάρουμε το A
2+B
2-4C>0
β) Έδινε εξίσωση εφαπτομένης του ενός, και έπρεπε να αποδείξουμε πως είναι εφαπτομένη και του άλλου, οπότε παίρνουμε την απόσταση του κέντρου απ' αυτήν και τεστάρουμε αν ειναι ίση με την ακτίνα
γ) Μετά έπρεπε να βρούμε το σημείο τομής της ευθείας με τους άξονες
2ο Θέμα είχε ευθείες, αλλά όχι οικογένειες που μ' αρέσουν και τέτοια. Να βρούμε συντελεστή διεύθυνσης, να δούμε αν κάποια σημεία ανήκουν σε αυτήν κτλ. Απογοήτευση
1ο θέμα
Α. Να αποδείξουμε ότι a.v=a.προβ
av
B. Να πούμε τι λέγεται εκκεντρότητα σε μία έλλειψη και τι τιμές μπορεί να πάρει
Γ. Σωστό Λάθος
: